前言

01

力学(Mechanics)---研究物质机械运动规律的科学，是物理学的一个重要分支学科。根据自然界物质有多种层次(宇观的宇宙体系、宏观的天体和常规物体、细观的颗粒/纤维/晶体、微观的分子/原子/基本粒子)演变出众多的力学分支。其中，弹性波及弹性波理论就是这众多分支中的一员。然而，被大家广为熟知的声表面波、体声波等都属于弹性波的范畴，所以在开始本文介绍前，让我们一起来回顾下弹性波的基本概念和发展历程(由于受篇幅及笔者能力限制，此文只进行简要的追溯)。

弹性波是一种在弹性介质(如固体、液体或某些气体)中传播的机械波，由于介质内各质点间存在弹性力的相互作用，当介质局部受到扰动使质点偏离平衡位置时，弹性力会使质点恢复平衡，并带动附近质点振动，从而形成波。通常，在流体(液体、气体)中，弹性波主要表现为纵波(L波，偏振方向与传播方向一致)，即为通常意义上的“声波”；在固体中弹性波可以同时存在纵波和横波(S波，偏振方向垂直于传播方向)。 

弹性波及弹性波的发展历程

02

弹性波的概念是如何形成的呢？弹性波概念的提出并非由单一科学家完成，而是经过众多物理学家、数学家在力学和波动理论上的积累与突破逐渐形成的。概括地说：弹性波理论的发展史是从经验直觉到现代科学的跨越。

1．萌芽期：弹性思想的朴素认识

公元前5世纪-17世纪是弹性思想的朴素认知时期，是先哲们利用经验观察和经典实验来描绘弹性的雏形概念。

公元前4世纪，也就是亚里士多德时代，先哲们通过猜想提出了声音是空气振动产生的波动现象(如图1所示)，但是并未将声音与弹性波联系起来，但是提出了一个很重要的概念：空气是声音传播的介质，并推测如果没有介质，声音就不会传播，即在真空中无法传播。

中国东汉时期的科学家张衡创造的传世杰作-地动仪(初造时间不详，大约公元115-121年间，复造于汉顺帝阳嘉元年(公元132年))，利用惯性原理检测地震波的方向，这是人类历史上首次通过机械装置感知弹性波波的传播。

图1 不同的声波波形

图2 (a)张衡画像                                                       图2 (b)地动仪

公元500年左右(我国南北朝时期)，人们才开始将声音的运动与波的运动联系起来。罗马哲学家阿尼修斯·马尼利乌斯·塞韦里努斯·波伊修斯（Anicius Manilius Severinus Boethius）将声音通过空气的传播与向平静的水中投掷小石子产生的波进行了比较，发现二者有着很多相似之处。由此揭开了机械波作为一大类自然现象研究的序幕。

时间来到公元14世纪，欧洲进入文艺复兴时期。人文主义精神崛起，人们开始怀疑传统权威，这种怀疑精神促使科学家重新审视自然规律，不再盲目接受宗教对世界的解释，逐渐将自然现象的解释由原来局限于神学的范畴引向了科学的范畴，极大地推动了思想解放与科技进步(为科学作出了巨大贡献的同时也造成了严重的殖民伤害，当然这部分应该是历史学家审视的问题，此文不再班门弄斧)。接下来，三位大佬相继登场。

首先登场的是意大利物理学家伽利略·伽利雷(Galileo di Vincenzo Bonaulti de Galilei, 1564.2.15-1642.1.8)，17世纪初伽利略提出了共振实验(著名的单摆实验)，在对单摆运动的研究中发现：给单摆施加周期性的同相位的推动，能够保持甚至逐渐增大单摆的振幅。使得他意识到声学共振现象产生的机制，并对两根弦发生共振的现象进行解释，并通过一系列实验证实了声音实际上是一种机械振动，从而开启了声学的系统研究。对于声学的研究记载于《关于两门新科学的对话》一书中。

图3 (a)伽利略                                                    图3 (b)单摆实验装置

第二位为弹性力学领域做出巨大贡献的大佬，那就是英国科学家罗伯特·胡克(Robert Hooke，1635.7.18-1703.3.3)。他在1678年通过弹簧实验总结出了“力与形变成正比”的规律(ut tensio sic vis (拉丁语，意为“力如伸长”)，F=-kx)，这就是大名鼎鼎的胡克定律，这为后来的弹性力学的发展奠定了基础，但尚未涉及波动传播的数学描述。后来，科学家们为研究固体介质中的弹性性质拓展了胡克定律，形成了广义胡克定律。

图4 (a) 罗伯特·胡克                                 图4 (b)胡克定律实验

第三位，艾萨克·牛顿(Isaac Newton，1643-1727)爵士于1687年出版了《自然哲学的数学原理》一书，建立了牛顿运动定律，为后面的波动方程的建立提供了动力学基础。在压电弹性波理论构建中，将牛顿运动方程和麦克斯韦方程通过压电本构方程进行耦合，形成了压电声学领域著名的耦合波动方程(弹性波的数学描述，可求解得到精确的弹性波解)。

图5 (a) 艾萨克·牛顿       图5 (b)《自然哲学的数学原理》封面

2．理论奠定期：数学框架的建立

公元18世纪、19世纪上半叶，这一时期是弹性波理论数学框架建立的时期。从人类科学史发展的角度来看，任何自然科学的发展都离不开数学理论的支撑。

18世纪主要是围绕“弹性模量”这一概念展开的。这其中做出贡献的科学家主要有雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli)、欧拉(Leonhard Euler)、Giordano Riccati等等，但都没有明确弹性模量的概念，只是把它视为材料弹性性能的参数。

时间来到1807年，英国物理学家托马斯.杨（Thomas Young, 1773-1829）发表了“A Course of Lectures on Natural Philosophy and the Mechanical Arts”文章，明确提出了“弹性模量”(the modulus of the elastic) 这一概念，他在文中写道：

we may express the elasticity of any substance by the weight of a certaincolumn of the same substance, which may be denominated the modulus of itselasticity, and of which the weight is such, that any addition to it wouldincrease it in the same proportion as the weight added would shorten, by itspressure, a portion of the substance of equal diameter.

后来人们为纪念他的贡献，将“弹性模量”命名为“杨氏模量”。

1821年，法国力学家纳维(Claude-Louis-Marie-Henri Navier，1785-1836)首次推导了弹性体平衡与运动的一般方程，这对对弹性波理论的发展奠定了基础。

在纳维研究的基础上，法国物理学家奥古斯丁·路易斯·柯西(Augustin Louis Cauchy，1789.8.21-1857.5.23) 在1822-1828年期间发表了一系列论文，明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念，建立了弹性力学的几何方程、平衡方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律。

至此，将几何方程(应变-位移关系)、本构方程(应力-应变关系，虎克定律)、动力学方程(牛顿运动定律)联合起来即可建立弹性波的波动方程‌，弹性波理论的数学模型正式建立了。

1829年，法国物理学家西莫恩·德尼·泊松(Simeon-Denis Poisson 1781-1840)从柯西方程出发，研究弹性介质中波的传播时，发现了纵波和横波两种类型。1833年他又发现了材料变形中的泊松效应，并给出了泊松比这一与“杨氏模量”齐名的弹性材料常数。

1845年，物理学家乔治·斯托克斯(George Stokes，1819-1903)通过数学推导证明了纵波是胀缩波，横波则被证明为畸变波，完善了弹性波的分类体系。并于1849年进一步验证了横波的畸变特性。

图6 (a) 托马斯·杨        图6 (b)纳维           图6 (c)柯西

       
图6 (d)泊松          图6 (e)斯托克斯

这里还要重点介绍一位数学家的贡献：1869年，瑞士数学家埃尔温·布鲁诺·克里斯托费尔(Elwin Bruno Christoffel，1829-1900，他在数学上的研究课题涉及数值分析、函数论、位势理论、微分方程、微分几何学、不变式理论等许多方面。他在微分几何学中引入了协变微分法及第一类和第二类克里斯托费尔符号，这些工作成为后来张量分析的基础)在弹性波理论中很重要的Christoffel方程，它是波动方程的一种形式，可以用于计算速度或慢度面(方程的具体形式涉及线性动量守恒方程和胡克定律，通过这些方程可以推导出固体中的声波相速度)‌。

我们知道经典弹性动力学属于几何表象理论，其基本方程由弹性体运动方程、几何方程和本构关系组成。在弹性极限内，固体受外力作用下应力 T 与应变 S 成线性正比例关系(即胡克定律)，晶体都具有弹性的性质决定晶体中某一部分受到任何一种机械扰动时，扰动就会随晶格传播开而形成弹性波。但是根据形成的弹性波在晶体中传播有一些特殊的性质，这些特殊性主要与晶体的对称性和各向异性有密切关系。在晶体中取一个晶胞，忽略其他效应作用，只考虑纯的弹性应力，根据 Newton 第二运动定律可得到弹性体运动方程，结合各向异性本构关系和几何方程可以得到由位移表示的各向异性波动方程：

这是一个无法解耦的复杂偏微分方程，无法得到各向异性弹性波的传播特性，将其与机械平面简谐波的形式结合便可转化得到Christoffel方程：

从而可以解析各向异性介质中弹性波的传播特性，作为经典弹性波理论，此方程也存在一定的局限性，它只能求解特定方向上的弹性波的传播，不能从全面上呈现弹性波的传播特性。(由于篇幅有限，对于Christoffel方程的改进此处不再详细介绍，感兴趣的读者可以阅读参考文献)

图7 (a) Christoffel     图7 (b) Christoffel方程的矩阵形式     图7 (c)慢度曲线

至此，进入到19世纪中叶，弹性波理论已趋于成熟！

3．弹性波与压电效应结合期：机电耦合之舞，波动工程之光

这个阶段可以分为两条主线：弹性波理论的进一步完善、压电理论及压电体中弹性波的发展。

本文中要介绍的压电声学器件领域我们经常见识到的各种声波模式，它们最早基本都源于地震波的研究。所以，下面我们将利用一点篇幅简单介绍下地震波的发现与类型。

1755年，葡萄牙首都里斯本发生了人类历史上破坏力最大、遇难人数最多的地震。同年，英国地质学家和天文学家约翰·米歇尔开始调查里斯本地震的原因。1760年，他得出结论，“地下火山”是地震的罪魁祸首，并且首次提出地震是以波的形式传递的，还把地震波分为了两类：迅速的震颤和紧跟其后的地面波状起伏，并初步认识到不同地震波的走时特征，特别是P波(纵波)和S波(横波)的速度差。

如图8所示，将地震波进行解析：地震波可以分解为三个分量，分别为东西水平分量、南北水平分量、垂直分量，每个分量中从震源中心到地面可以解析出不同速度的地震波模式，速度由大到小依次是P波→S波→表面波，其中P波和S波属于体波，表面波是由P波与S波在地表相遇后激发产生的次生波，包括Rayleigh波和Love波(将在后文详细介绍)，所以在地面上的人们将最先感受到P波，最晚感受到表面波(伤害最大的波也是表面波‌)。

    
图8 (a)地震波的不同模式     图8 (b)地震波的表示法

接下来，英国全能物理学家约翰·威廉·斯特拉特(John William Strutt，1842-1919。这个名字大家应该很陌生，但说出另外一个称呼大家就会很熟悉，他就是大名鼎鼎的瑞利勋爵，他的爵位是继承的他爷爷和父亲的瑞利男爵，即瑞利男爵三世(Third Baron Rayleigh)，1904年，他因研究气体密度并从中发现氩而被授予诺贝尔物理学奖)要登场了。1885年，瑞利勋爵在《伦敦数学学会会报》上发表了一篇名为“On waves propagated along the plane surface of an elastic solid ”的文章，他从数学上提出：“波在无限均匀各向同性弹性固体自由上表面上的传播行为，其性质在于这种扰动局限于一个厚度与波长相当的表面区域，类似于深水波的变化，只是它的势能取决于弹性回能(elastic resilience)而非重力”，人们为了纪念瑞利勋爵的贡献将这种波命名为“瑞利波”。后来在地震波的观测中证实了这种波的真实存在性，这就是最早的声表面波的概念，人们一度将声表面波称作瑞利波，直到后面的物理学家发现了其他形式的声表面波。

比声表面波的发现早5年，居里兄弟发现了压电效应(后文会详细介绍)，两者相结合产生出了压电声学器件分支(这可以说是历史上极其美妙的安排)。所以，瑞利勋爵可算作是压电声学器件领域(特别是声表面波器件领域)从业者的“祖师爷”。

随后，其他类型的弹性波模式依次被发现，比如Love波、Lamb波、Stoneley波、Sezawa波等等。

图9 (a) 瑞利勋爵       图9 (b)最早提出声表面波概念的论文

同样地，还有一种被大家所熟知的最早在地震波观测中被证实的弹性波---勒夫波(Love wave)。Love 波是以英国地球物理学家和数学家奥古斯塔斯·爱德华·霍夫·勒夫(Augustus Edward Hough Love，1863~1940)的名字命名的 (以吾之身，冠之汝名，表面波家族的命名也是具有科学浪漫主义色彩的)，他的研究方向主要致力于弹性力学的数学理论。1911年，Love在他的著作《Some Problems of Geodynamics》中阐述了这种表面波的理论，通过构建数学模型首次给出了Love波在数学上的解释，此项工作为他赢得了1911年的亚当斯奖(Adams Prize)。

Love波与Rayleigh波这对“双生姊妹”演绎着截然不同的运动美学：Love波是一种垂直于传播方向且在水平面内振动的波(属于SH型剪切波，详细的特征将在后文为大家介绍)。

图10 (a) A. E. H. Love               图10 (b)《Some Problems of Geodynamics》封面

1917年，英国应用数学家贺拉斯·兰姆爵士(Horace Lamb，1849-1934，他在流体动力学方面做出了巨大的贡献)在研究无限大板中的正弦波时发现了一种在薄板或薄膜中传播的表面波，其特点是沿着结构的表面和厚度方向传播，因此得名为兰姆波(Lamb波)，后来有人也将其称为板波。H.兰姆基于弹性力学的拉梅解建立了lamb波的数学模型：将波动方程分别用P波和S波的位移势表示，求解波动方程得到Lamb波的一般解。

1924年，英国物理学家罗伯特·斯通利(Robert Stoneley，1894-1976)在研究两种完好连接的各项同性均匀半无限介质交界面上传播的波时，发现了一种波速与两个介质的性质相关的类瑞利波的波模态(“变态”瑞利波)。这种波的存在与介质的弹性拉梅常数和介质密度有关(需要满足一定条件的情况)，人们将这种波称为斯通利波。

注：Lamé常数，将线弹性（或固体可变形）各向同性体的某一点的弹性应力分量与此时的变形分量连接起来的量：

图11 (a)Horace Lamb           图11 (b) Robert Stoneley

时间来到20世纪50年代以后，科学家进一步发展了弹性绕射理论，非线性弹性波理论等等。

前面简要介绍了弹性波理论的发展历程，而与本文主要介绍的弹性波与压电性介质相结合而开启的新领域--压电声学器件，还需要一点篇幅来回顾下这一美妙的结合。

首先，我们要明确一个重要的概念—压电效应(piezoelectric effect)，其由雅克•居里(Jacques Curie，1856-1941)和皮埃尔•居里(Pierre Curie，1859-1906，大名鼎鼎的玛丽·居里的丈夫，居里夫妇和贝克勒尔于1903年因对放射性的研究而获得诺贝尔物理学奖，皮埃尔•居里在获奖两年多后的一次马车车祸中遇难) 于1880年在单晶石英中发现了直接压电效应(正压电效应)，即：石英晶体在压力作用下，在它的某些表面上产生了电荷积累和电位差。并且对石英晶体中的压电效应进行了精确测量。1881年他们又证实了李普曼(G. Lippmann，就是那个因发明制作彩色玻璃照相技术获得诺贝尔物理学奖的大佬)提出的逆压电效应的预言：电场引起压电晶体产生微小的收缩(应变)。这一重要发现其意义在于：揭示了机械能与电能的可逆转换，但此时尚未建立数学描述。

注：piezoelectric 一词中“piezo”这个词根在希腊语中是“压力”的意思，加上“electric”，意为电，组合起来就是压力产生电的意思。

图12 (a) 居里兄弟                      图12 (b) 正/逆压电效应

1910年，德国物理学家沃德马·沃伊特(Woldemar Voigt，1850-1919)出版了晶体物理学领域的权威性著作---《晶体物理学教本》(德语：Lehrbuch der  Kristallphysik)，书中首次提出了20种具有压电性质的天然晶体(晶体是否具有压电性与晶体结构的对称性有关，只有具有不对称中心的晶体才有可能具有压电特性)。尤其重要的是，他还严格定义了18种固态晶体可能的宏观压电系数，并对压电系数和模量进行了系统的物理解释，为后来的压电理论基本方程的发展奠定了基础。

Woldemar Voigt还有一个重要的贡献：我们常见的张量的表示方法----Voigt 符号，就是以他的名字命名的，是对称张量的缩写符号(基于张量的索引表示法，将两个索引按照特定的规则“组合”成一个索引)，大家都共识性地将压电材料的材料常数张量采用Voigt 符号进行表示。

图13 (a) Woldemar Voigt   图13 (b)《晶体物理学教程》封面      图13 (c)压电本构方程

后来的科学家们将应力、应变与电场、电位移通过张量形式进行关联，提出了正/逆压电效应的数学表达—压电本构方程，压电本构方程是研究和解析压电性介质中弹性波传播的最基础的数学理论，通过设定不同的边界条件，压电本构方程可以扩展为四类方程形式，具体的形式和应用场景本文将不再展开。

1917年，法国物理学家保罗·朗之万(Paul Langevin，1872 -1946，就是那个跟居里夫人有过绯闻的朗之万)利用石英压电效应激发高频超声波(纵波)，制造出了可用于潜水艇上的超音波传感器(声呐)，首次实现了压电体中弹性波的工程应用。

图14 (a) Paul Langevin     图14 (b)声呐装置

1950年左右，美国力学家雷蒙德·大卫·明德林(Raymond David Mindlin，1906-1987)在Kirchhoff-Love板理论的基础上进行扩展形成了Mindlin板理论，考虑了板厚度方向的剪切变形。他还提出了应变梯度弹性理论，引入高阶应变项来解释微纳尺度下的尺寸效应，为压电薄膜和纳米结构中的弹性波传播提供了理论框架。

1965年，RM White和FW Voltmer两人发明了插指换能器(IDT)结构，在石英晶体上利用IDT结构成功激发并检测到了瑞利型声表面波，开启了SAW器件应用的时代。注：我们前几期的文章有相关介绍，此处不再详细描述。

1968年，布勒斯坦(J.L. Bleustein)与古利亚耶夫(Yu.V. Gulyaev)预言了在压电晶体表面存在一种横电偏振(SH波)声表面，即波Bleustein-Gulyaev波，拓展了瑞利波理论，成为声表面波器件的理论基础。

从此便开启了压电物理学研究的时代。

4．现代发展期：声学器件革命，跨学科融合．现代发展期：声学器

(1). 应用爆发期

进入20世纪70年代，从电视中频开始，开发并生产了大量的各种滤波器和谐 振器。20世纪80年代后期，移动通信市场的飞速发展声表面波器件快速发展，NSAW滤波器、TCSAW滤波器、SAW传感器、卷积器、延迟线、MEMS声学器件等呈井喷式出现。到了21世纪，则进入了更块的发展道路。4G/5G通信技术的发展，压电声学滤波器成为了主流的滤波器类型，应用频率不断向上拓展，性能上限不断被突破。压电材料不断突破，各种性能优异的压电材料体系被提出。

(2). 计算技术发展

现代计算技术赋能压电声学领域。比如：等效电路模型(BVD)、δ函数模型、交叉场模型、脉冲响应模型、格林函数模型、变分理论模型、P矩征法、耦合模型(COM)、有效介电常数法，散射矩阵法，微扰理论法等等计算方法出现，帮助研究者和工程人员快速计算压电体中弹性波的传播特性。

人们也将有限元方法引入到压电体弹性波的模拟计算当中，如FEMBEM方法、COMSOL多物理场仿真方法、级联有限元方法(HCT)等等。 

历史总结：波动之链，文明之脉

弹性波理论的发展史，是一部人类如何通过抽象数学理解自然、进而改造世界的史诗。从张衡地动仪的青铜龙珠到5G手机中的SAW滤波器，从地震预警系统的秒级响应到量子计算机的声子芯片，弹性波科学始终在基础研究与工程应用的双螺旋中不断进化。在19世纪末的那个节点，美妙的历史安排让压电效应与弹性波理论相遇，从而碰撞出了一部机电耦合机制与波动工程相互成就的史诗。这部宏大的历史还在不断地被书写：压电弹性波理论正在不断突破物理极限，重塑技术边界，可能在不久的未来，凭借人工智能技术的赋能，这一领域或将催生更智能、更高效的波动信息技术，继续引领人类感知与操控这大千世界。